小編為考生總結(jié)了線性代數(shù)行列式的細(xì)算方法，希望對(duì)于這方面有疑問的考生能夠起到參考借鑒的作用。

行列式的計(jì)算靈活多變，需要有較強(qiáng)的技巧。當(dāng)然，任何一個(gè)n階行列式都可以由它的定義去計(jì)算其值。但由定義可知，n階行列式的展開式有n!項(xiàng)，計(jì)算量很大，一般情況下不用此法，但如果行列式中有許多零元素，可考慮此法。值的注意的是：在應(yīng)用定義法求非零元素乘積項(xiàng)時(shí)，不一定從第1行開始，哪行非零元素最少就從哪行開始。接下來要介紹計(jì)算行列式的兩種最基本方法――化三角形法和按行（列）展開法。

方法1　　化三角形法

化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。

原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對(duì)于階數(shù)高的行列式，在一般情況下，計(jì)算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。

例1：浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題（重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題）的解答中需要計(jì)算如下行列式的值：

[分析]顯然若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始；每一列與它一列中有n-1個(gè)數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以-1加到第n列，第n-2列乘以-1加到第n-1列，一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再將其化為三角形行列式，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了。

解：

方法2　 按行（列）展開法（降階法）

設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有

或

其中為中的元素的代數(shù)余子式

按行（列）展開法可以將一個(gè)n階行列式化為n個(gè)n-1階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將n階行列式降階直至化為許多個(gè)2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。

例2，計(jì)算20階行列式[9]

[分析]這個(gè)行列式中沒有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行20!*20-1次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。

注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算：

解：

以上就是計(jì)算行列式最基本的兩種方法，接下來介紹的一些方法，不管是哪種，都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結(jié)合起來。

下面是一常用的方法：

方法3　遞推法

應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法。

[注意]用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。

例3，2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式：

（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）

[分析]此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對(duì)角”行列式[1]。從行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。

證明：Dn按第1列展開，再將展開后的第二項(xiàng)中n-1階行列式按第一行展開有：

這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式，因此，可考慮將其變形為：

或

現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階，有：

同樣有：

因此當(dāng)時(shí)

由（1）（2）式可解得：

證畢。

[點(diǎn)評(píng)]雖然我們從一個(gè)行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推關(guān)系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個(gè)遞推關(guān)系式是否可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，如果不行的話，就要適當(dāng)?shù)負(fù)Q遞 推關(guān)系式，如本題。

以上總共給出了計(jì)算行列式的3種方法，其中一些是常見的些是最基本的方法，還有一些是特殊但很實(shí)用的方法。在課外書中還有其他的一些方法，如：極限法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、差分法、積分法等，但這些方法用處不多，所以不加以介紹。