考研數(shù)學(xué)：尋根究底之隨機(jī)變量篇
[摘要] 隨機(jī)變量之于概率正如矩陣之于線代：矩陣是線性代數(shù)的活動(dòng)基地，線代的核心概念基本上都是用矩陣定義的；而隨機(jī)變量則是概率統(tǒng)計(jì)的活動(dòng)基地，概率統(tǒng)計(jì)的重要概念均以隨機(jī)變量為載體展開(kāi)。
尋根究底之隨機(jī)變量篇（一）
普研數(shù)學(xué)中概率共五題。如果有時(shí)間，看看真題，會(huì)發(fā)現(xiàn)題目是這么表述的：“設(shè)隨機(jī)變量X…”，“設(shè)總體X…”，“設(shè)樣本X1，X2，…，Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本…”。可見(jiàn)考研數(shù)學(xué)概率部分是以隨機(jī)變量為載體出題的；另外，隨機(jī)變量之于概率正如矩陣之于線代：矩陣是線性代數(shù)的活動(dòng)基地，線代的核心概念基本上都是用矩陣定義的；而隨機(jī)變量則是概率統(tǒng)計(jì)的活動(dòng)基地，概率統(tǒng)計(jì)的重要概念均以隨機(jī)變量為載體展開(kāi)。
隨機(jī)變量，顧名思義，就是具有隨機(jī)性的變量。什么叫有隨機(jī)性？劉老師將帶領(lǐng)大家從隨機(jī)試驗(yàn)開(kāi)始看起。
所謂隨機(jī)試驗(yàn)，就是具有如下特征的試驗(yàn)：“可重復(fù)”，“結(jié)果不唯一”，“無(wú)法預(yù)知”（試驗(yàn)前無(wú)法預(yù)知哪種結(jié)果出現(xiàn)）。如擲硬幣，擲骰子。對(duì)于某個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們把其結(jié)果收集起來(lái)構(gòu)成一個(gè)集合，這就構(gòu)成了該試驗(yàn)的樣本空間。而樣本空間的子集就是隨機(jī)事件。所以隨機(jī)事件即某些試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的集合。概率第一章的基本概念：樣本空間、隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件、基本事件，均可以理解成特殊的集合（由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的集合）：全集、子集、全集、空集、單點(diǎn)集。
隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的單值函數(shù)。例如對(duì)于擲硬幣這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為{正，反}，我們可以在這個(gè)樣本空間上定義一個(gè)隨機(jī)變量：X（正）=1，X（反）=0。
關(guān)于隨機(jī)變量的概念，我們不妨多思考一下，以增進(jìn)和它的關(guān)系。套用一句廣告詞：你怎么對(duì)待隨機(jī)變量，隨機(jī)變量就怎么對(duì)待你。請(qǐng)思考如下幾個(gè)問(wèn)題：
1. 隨機(jī)變量是個(gè)函數(shù)，這個(gè)函數(shù)是不是高數(shù)中的函數(shù)？
不少同學(xué)沒(méi)有思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題，那就錯(cuò)過(guò)了深入理解隨機(jī)變量的機(jī)會(huì)。高數(shù)中的函數(shù)是什么樣子的？起碼定義域是實(shí)數(shù)集或?qū)崝?shù)集的子集。而隨機(jī)變量的定義域是樣本空間。這說(shuō)明二者是不同類型的函數(shù)。什么？函數(shù)還有不同類型？有這種疑惑的同學(xué)很可能沒(méi)有好好看教材，在同濟(jì)六版高數(shù)教材第6頁(yè)，有一小段話，較為透徹地解答了該問(wèn)題。大家可以通過(guò)翻書(shū)或聽(tīng)我嘮叨幾句這兩種方式解決這個(gè)問(wèn)題。ready？go！映射是兩個(gè)集合A，B之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，考慮非空集合A、B，對(duì)于集合A中的任一元素，若集合B中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，我們就把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為從A到B的映射。如果集合A、B均為實(shí)數(shù)集或其子集，我們把這個(gè)映射稱為函數(shù)。如果定義域?yàn)橐粋€(gè)一般的集合（非實(shí)數(shù)集或其子集），那么我們把這種映射稱為泛函（泛函字面意思為廣義的函數(shù)）。理解了這些概念后，我們?cè)賮?lái)看隨機(jī)變量，不難發(fā)現(xiàn)它原來(lái)是個(gè)泛函（怪不得不好理解呢）。泛函的知識(shí)考研不要求，不必深究。
2. 隨機(jī)變量能否表示隨機(jī)事件？
這個(gè)問(wèn)題也有不少同學(xué)感到困惑。我們以上面定義的這個(gè)隨機(jī)變量為例，{X=1}是個(gè)隨機(jī)事件嗎？是。可以有兩個(gè)理解角度：其一，它可以寫(xiě)成{X=1}={e|X（e）=1}={正}，這是一種反對(duì)應(yīng)：由函數(shù)因變量的取值反對(duì)應(yīng)自變量的取值。大家可以體會(huì)一下如何用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件；其二，X有兩種可能的取值0，1，并且以一定的概率取每個(gè)值，而可以考慮概率的事件自然是隨機(jī)事件了。所以以后見(jiàn)到一個(gè)隨機(jī)變量，我們不一定要弄清它是如何定義的（有時(shí)這是困難的），只要我們能分析出這個(gè)變量有若干種可能的取值，取每個(gè)值有相應(yīng)的概率即可認(rèn)可其為隨機(jī)變量，進(jìn)行下一步分析即可。
類似地，{X<=1}也是隨機(jī)事件。而且這種方式表示的隨機(jī)事件有重要應(yīng)用。正如深挖群眾提供的貪腐線索有可能揪出大老虎，深入理解基本概念可能會(huì)有意想不到的收獲。由{X<=1}為隨機(jī)事件，不難得到{X<=a}亦為隨機(jī)事件（其中a為給定的實(shí)數(shù)）。進(jìn)一步，{X<=x}是隨機(jī)事件嗎（x為變量，且不具有隨機(jī)性）？給定x，{X<=x}為一個(gè)隨機(jī)事件；若給定不同的x，就得到不同的隨機(jī)事件。如果x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，我們就得到了一系列的隨機(jī)事件。而每個(gè)隨機(jī)事件又可以與一個(gè)概率對(duì)應(yīng)。這樣，對(duì)于每個(gè)x，有唯一確定的實(shí)數(shù)與其對(duì)應(yīng)，這就確定了函數(shù)關(guān)系。這個(gè)函數(shù)是與X有關(guān)的，我們稱其為X的分布函數(shù)。是不是有點(diǎn)意外的收獲？
走筆至此，我忍不住要說(shuō)兩句“形而上”的東西。為什么有同學(xué)感覺(jué)課上聽(tīng)懂了，課下卻不會(huì)做題？一個(gè)重要的原因是上課是學(xué)生跟著老師的思路走，缺少主動(dòng)探索和“試錯(cuò)”。我們碰到一道題就像路過(guò)一個(gè)十字路口，有前后左右四個(gè)方向可選，而最終我們會(huì)選擇其中一個(gè)方向走下去。那為什么要選這個(gè)方向？很多時(shí)候，我們要用主動(dòng)的試錯(cuò)去減少可能性，用試錯(cuò)去建立自己的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，進(jìn)而依據(jù)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)做決策。而這種試錯(cuò)最好在平時(shí)完成（在考場(chǎng)上試錯(cuò)就“悲劇”了）。
3. 為什么要引入隨機(jī)變量？
隨機(jī)變量是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，方便用數(shù)學(xué)工具處理。沒(méi)有隨機(jī)變量的狀態(tài)，我們已經(jīng)見(jiàn)識(shí)過(guò)了，就在概率的第一章。我們可以考慮隨機(jī)事件，但每次說(shuō)起來(lái)和寫(xiě)起來(lái)都不方便：事件中的元素可能是“正”和“反”，也可能是“1點(diǎn)”和“6點(diǎn)”，還可能是“中”和“不中”；相應(yīng)地算概率可能是P{“正”},可能是P{“擲出偶數(shù)點(diǎn)”}，還可能是P{“獨(dú)立重復(fù)地射擊10次，擊中k次”}。而有了隨機(jī)變量后，整個(gè)概率的世界就不同了：可以用P{X=1}表示擲硬幣朝上的面為正面，表示擲骰子擲出偶數(shù)點(diǎn)，還可以表示射擊命中，只需要修改隨機(jī)變量X的定義即可；此外，我們可以進(jìn)一步定義X的分布函數(shù)，那么高等數(shù)學(xué)就可以作為一個(gè)工具來(lái)為概率統(tǒng)計(jì)服務(wù)了，比如求極限，求導(dǎo)這些基本計(jì)算可以對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行。
尋根究底之隨機(jī)變量篇（二）
在弄清了隨機(jī)變量的含義后，我們思考一個(gè)問(wèn)題：用什么方式去描述它？隨機(jī)變量有兩個(gè)要素：取值和取值對(duì)應(yīng)的概率。而分布是描述隨機(jī)變量的方式。分布包括三種：分布函數(shù)，分布律和概率密度。為什么要有三種，這么麻煩，一種多簡(jiǎn)單？這就像現(xiàn)金可以完成支付，為什么還會(huì)有公交卡？因?yàn)槲覀冏粫r(shí)刷卡更方便些。分布函數(shù)確實(shí)可以描述所有隨機(jī)變量，但對(duì)于離散型隨機(jī)變量，用分布律描述較為方便；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，用概率密度描述較為方便。
分布函數(shù)是描述隨機(jī)變量的通用方式。對(duì)于隨機(jī)變量X，我們稱F（x）=P{X<=x}，（x屬于R）為其分布函數(shù)。關(guān)于分布函數(shù)，前文我們討論過(guò)一種理解角度，此外，我們還可以從以下幾個(gè)角度理解。
1.F（x）=P{X<=x}= P{X屬于（負(fù)無(wú)窮，x]}，意味著X的分布函數(shù)F（x）是隨機(jī)變量X落入?yún)^(qū)間（負(fù)無(wú)窮，x]的概率。
2.對(duì)于上面用擲硬幣這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)定義的隨機(jī)變量X，大家動(dòng)手寫(xiě)一下它的分布函數(shù)，不難得到如下結(jié)果：當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)（x）=0；當(dāng)0=
3.隨機(jī)變量X不是高數(shù)中的函數(shù)，那么其分布函數(shù)是高數(shù)中的函數(shù)嗎？是。我們觀察上面寫(xiě)出的分布函數(shù)的表達(dá)式和圖像，會(huì)發(fā)現(xiàn)它就是一個(gè)普通的分段函數(shù)，是高數(shù)的中的函數(shù)。
在討論完隨機(jī)變量后，我們討論多維隨機(jī)變量。
先考慮一個(gè)問(wèn)題：什么叫多維隨機(jī)變量。想一下，咱們?cè)谀膫€(gè)地方提到過(guò)“多維”？高數(shù)中有二維平面，三維空間。線性代數(shù)中向量的維數(shù)即向量分量的個(gè)數(shù)。所謂n維隨機(jī)變量，就是一個(gè)向量，該向量的每個(gè)分量是定義在同一個(gè)樣本空間上的隨機(jī)變量。或者理解成n個(gè)一維隨機(jī)變量放在一塊考慮。
我們學(xué)習(xí)多維隨機(jī)變量，要和一維對(duì)比起來(lái)理解。前面提到，我們是用分布描述一個(gè)隨機(jī)變量的，分布有三種：分布函數(shù)，分布律和概率密度。那么，推廣一下，就得到了二維隨機(jī)變量的描述方式。先看分布函數(shù)。
一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)是個(gè)一元函數(shù)F（x），它是一維隨機(jī)變量X落入到一個(gè)區(qū)間（負(fù)無(wú)窮，x]的概率；相應(yīng)地，二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)應(yīng)是一個(gè)二元函數(shù)F（x，y），它是二維隨機(jī)變量（X,Y）落入一個(gè)平面區(qū)域（負(fù)無(wú)窮，x]乘（負(fù)無(wú)窮，y]的概率。一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)有三條性質(zhì)：“單調(diào)不減”，“0，1之間”，“右連續(xù)”。那么推廣過(guò)來(lái)，就得到了二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)：關(guān)于x關(guān)于y均為單調(diào)不減；函數(shù)值在0，1之間；關(guān)于x關(guān)于y均為右連續(xù)。理解起來(lái)也不困難：所謂“關(guān)于”，就是把一個(gè)變量固定讓另一個(gè)變量變化；分布函數(shù)是一個(gè)概率，當(dāng)然在0，1之間，這里與一維有所不同（F（負(fù)無(wú)窮，y）= F（x，負(fù)無(wú)窮）=0），只需注意到定義中的逗號(hào)是“且”的意思。最后一條性質(zhì)可以結(jié)合圖像理解，考得不多。
仍有一個(gè)問(wèn)題：一維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的三條性質(zhì)是充要條件，那么二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的這四條性質(zhì)是充要條件嗎？這個(gè)考試不要求。當(dāng)然，其它類似理解：如F（x）是一維隨機(jī)變量的通用描述方式，每個(gè)隨機(jī)變量均可對(duì)應(yīng)一個(gè)分布函數(shù)；相應(yīng)地，F(xiàn)（x，y）是二維隨機(jī)變量的通用描述方式，每個(gè)二維隨機(jī)變量均可對(duì)應(yīng)一個(gè)分布函數(shù)。
理解了二維分布函數(shù)的定義和描述方式后，我們看看二維隨機(jī)變量的類型。回顧一下一維隨機(jī)變量有哪些類型？離散和連續(xù)。推廣一下，可以得到二維離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量。
什么是一維離散型隨機(jī)變量？無(wú)非是取值為有限或者可列無(wú)限個(gè)的隨機(jī)變量。類似的，二維隨機(jī)變量，若其取值是有限或可列無(wú)窮對(duì)，則稱其為二維離散型隨機(jī)變量。并且二維離散型隨機(jī)變量的描述方式與一維一致，也是寫(xiě)出所有可能的取值，寫(xiě)出取值對(duì)應(yīng)的概率即可。差別在于二維的取值是實(shí)數(shù)對(duì)，而一維是實(shí)數(shù)。
類似地，我們可以得到二維連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及性質(zhì)。
二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布律和概率密度統(tǒng)稱聯(lián)合分布。
尋根究底之隨機(jī)變量篇（三）
多維分布包括三種：聯(lián)合，邊緣，條件。后兩種是多維變量獨(dú)有的分布。我們先從邊緣分布看起。先總體把握一下：X,Y放在一塊構(gòu)成一個(gè)向量（X,Y），其分布稱為聯(lián)合分布，而X自己作為隨機(jī)變量，其分布稱為（X,Y）關(guān)于X的邊緣分布。當(dāng)然分布包括三種：分布函數(shù)，分布律和概率密度。前面加上邊緣，就得到三種邊緣分布。何為（X,Y）關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)FX（x）？把握兩點(diǎn)即可：一、隨機(jī)變量自己的分布函數(shù)；二、它和聯(lián)合分布函數(shù)的關(guān)系：對(duì)比FX（x）和F（x，y）的定義，我們發(fā)現(xiàn)前者不含y，如何把F（x，y）中的y變沒(méi)呢？注意到F（x，y）=P{X<=x, Y<=y}中的“X<=x”和“Y<=y”為兩個(gè)事件，如果我們令y趨于正無(wú)窮，則“Y<=正無(wú)窮”為必然事件，那么F（x，正無(wú)窮）=P{X<=x, Y<=正無(wú)窮}= P{X<=x }。如果我們已知X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)，要求關(guān)于一個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布函數(shù)，只需求極限即可（令一個(gè)變量趨于正無(wú)窮）。
弄明白邊緣分布函數(shù)后，邊緣分布律和邊緣概率密度就是類似的了。關(guān)于邊緣分布律，也是把握兩點(diǎn)：一、（X,Y）二維離散型隨機(jī)變量，X自己是一維離散型隨機(jī)變量，它自己應(yīng)有分布律，我們把這個(gè)分布律稱為（X,Y）關(guān)于X的邊緣分布律。二、邊緣分布律和聯(lián)合分布律的關(guān)系。（X,Y）關(guān)于X的邊緣分布律P{X=xi}=pi（i=1,2，…）中不含j，意味著P{X=xi}=pi對(duì)所有的j都成立。故P{X=xi}= P{X=xi,Y=y1}+ P{X=xi,Y=y2}+…也就是說(shuō)，如果我們知道了聯(lián)合分布律，要求邊緣分布律，做加法即可。反過(guò)來(lái)，如果我們已知邊緣分布律，要求聯(lián)合分布律。首先要有“已知邊緣求聯(lián)合”的意識(shí)，之后我們可以把聯(lián)合分布律的表畫(huà)出來(lái)，并把邊緣分布律寫(xiě)在一邊，再結(jié)合已知條件，不難把聯(lián)合分布律的表填完整。對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量，其分布問(wèn)題關(guān)鍵是寫(xiě)出聯(lián)合分布律，求邊緣分布律即做加法，求條件分布律做除法即可。
根據(jù)離散和連續(xù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們不難得到邊緣概率密度。其概念也是把握兩點(diǎn)：一、（X,Y）關(guān)于X的邊緣概率密度其實(shí)就是隨機(jī)變量X自己的概率密度，這是一維隨機(jī)變量的概率密度，與第二章講的概率密度無(wú)區(qū)別，加上邊緣是為了指明它與聯(lián)合概率密度的關(guān)系，當(dāng)然也是為了區(qū)分與二維隨機(jī)變量相關(guān)的兩個(gè)概率密度（聯(lián)合與邊緣）；二、邊緣概率密度與聯(lián)合概率密度是什么關(guān)系？我們可以通過(guò)離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)把握。我們通過(guò)對(duì)聯(lián)合分布律做加法就得到了邊緣分布律，而積分可以理解為“連續(xù)求和”，所以我們通過(guò)對(duì)聯(lián)合概率密度求積分可以得到邊緣概率密度。
以上是對(duì)邊緣分布的討論，下面我們來(lái)看條件分布。首先，考研[微博]范圍內(nèi)只須考慮條件分布律和條件概率密度，不用管“條件分布函數(shù)”。我們以下面的二維離散型隨機(jī)變量為例，討論條件分布律。先給出二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律：P{X=0,Y=0}=1/4, P{X=0,Y=1}=1/4, P{X=1,Y=0}=1/2, P{X=1,Y=1}=0。我們考慮下面的概率P{X=0|Y=0}，不難發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)條件概率，我們按照條件概率的定義寫(xiě)出來(lái)P{X=0|Y=0}=P{X=0，Y=0}/ P{ Y=0}=（1/4）/（1/4+1/2）。那么這是不是條件分布律呢？不是，條件分布律要給出Y=0的條件下，X的所有可能取值及取這些值對(duì)應(yīng)的概率。所以上面的式子只是給出了條件分布律中的一項(xiàng)。意識(shí)到這點(diǎn)，我們不難寫(xiě)出另一個(gè)式子P{X=1|Y=0}= P{X=1，Y=0}/ P{ Y=0}=（1/2）/（1/4+1/2）。這兩個(gè)式子合起來(lái)構(gòu)成一個(gè)完整的分布律，我們稱其為給定Y=0的條件下X的條件分布律。通過(guò)這個(gè)小例子，我們思考一下：什么是條件分布律？條件分布律是一些條件概率。我們觀察最終結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)結(jié)果是比值，分子是聯(lián)合分布律中的一項(xiàng)，分母是邊緣分布律中的一項(xiàng)。我們可以簡(jiǎn)單地記成：“聯(lián)合/邊緣=條件”。而實(shí)際做題過(guò)程中，如果我們能寫(xiě)出聯(lián)合分布律，寫(xiě)出邊緣分布律就是做加法，而寫(xiě)條件分布律就是做除法。實(shí)際是聯(lián)合分布律中的項(xiàng)占該項(xiàng)所在行（或列）的數(shù)字的和的比例。我們把上面討論的內(nèi)容總結(jié)一下，就得到了一般的條件分布律的定義。我們稱P{X=xi|Y=yj}=pij （i=1,2，…）為給定Y=yj的條件下，X的條件分布律。在這個(gè)定義式中，要分清哪個(gè)指標(biāo)是固定的，哪個(gè)指標(biāo)是可變的。
條件概率密度可以依據(jù)離散和連續(xù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)理解。如對(duì)于條件分布律，有“聯(lián)合/邊緣=條件”，那么相應(yīng)地，條件概率密度等于聯(lián)合概率密度除以邊緣概率密度，即fX|Y（x|y）=f（x,y）/ fY（y）。
下面我們對(duì)多維分布做一個(gè)小結(jié)：多維分布分成三個(gè)部分：聯(lián)合分布，邊緣分布和條件分布。這三部分基本的要求是理解定義和性質(zhì)，其中聯(lián)合分布函數(shù)有四條性質(zhì)，前三條由一維分布函數(shù)推廣而來(lái)，第四條性質(zhì)通過(guò)畫(huà)圖理解；聯(lián)合分布律和聯(lián)合概率密度的性質(zhì)（非負(fù)性和歸一性）可作為充要條件；邊緣分布函數(shù)，分布律和概率密度其實(shí)是一維分布，自然滿足一維分布的性質(zhì)；條件分布律和條件概率密度也滿足非負(fù)性和歸一性。多維分布這部分內(nèi)容對(duì)應(yīng)考研數(shù)學(xué)兩道大題：多維分布的計(jì)算和求隨機(jī)變量函數(shù)的分布。有了對(duì)基本概念的透徹理解，掌握相應(yīng)的方法就水到渠成了。
